解約無料月に間に合わない…

月末締めならauかドコモからのMNPだと思います。双方とも今年から解約月が２カ月間に延長になっていますが、その点の確認は間違いないですか。
https://www.nttdocomo.co.jp/info/notice/page/160307_01_m.html
http://www.au.kddi.com/mobile/charge/basic-charge-discount/daredemo-wari/

それで、もしも携帯電話を使えない期間が１週間くらい出てもよいのであれば、回避する方法はあります。
明日朝９時にmineoのサポートに電話して、一旦契約手続を取り消してください。そして、ドコモ151もしくはau157へ電話して、MNPの番号を取り消ししてもらってください。そして、ショップへ行って切断型のMNP番号を発行してもらえば、そこで一旦契約は切れますから、無駄な解約料は発生しません。そして、改めてmineoへ申し込みし直しすればよいです。最初の分のエントリーコードは、もしかすれば無効になってしまうかもしれませんが。

明日mineoに電話したときに、既に手続が完了してしまっている場合もあり得ると思います。でも、実際にsimが発行されるのはその翌日なので、止められないことはないことになります。

いずれ、simカードが発行されるのは、仮に明日契約が完了したとしてもあさって６月１日になりますので、イチかバチか止める方法はちょっと難しいと思います。