現在auのガラケーと、スマホのシングルタイプの２台持ちしてます。

現在ご利用のシングルタイプが Aプランの場合

①シングルタイプ→デュアルタイプへMNP（マイページで変更可能）
②新規でデュアルタイプへMNP→シングルプラン解約

どちらも可能だと思いますが、手数料を考えると②の方がオススメです。

・エントリーパッケージの購入
・auで「MNP予約番号」の取得

まず、これらを先に済ませるところからでしょうか。

①の場合、マイページ下部の「契約内容の変更」から可能です。
②の場合、3月中に申し込まれるなら どなたかの紹介ページから
　申し込まれると良いと思います。

私もみさきさんの②案をお勧めします。mineoエントリーパッケージ代よりタイプ変更手数料2000円の方が高いですし3月中の申し込みが間に合えばキャンペーンが適用されますし。

参考までにmineoにMNPする手順です。
いずれにしてもmineoに決めた！となったら、
まずはmineoエントリーパッケージというものを契約分購入してください。amazonやヨドバシで購入出来ます。
ここならメールでエントリーパッケージ送付対応で早いかもです。
http://mall.eonet.jp/ec/commodity/eosmile/Z103620/

届いたら（または届く日）にauでMNP予約番号を取得します。（電話やauショップで可能です。予約番号の有効期限は15日です。）
続けてmineoに申し込みします。
また申し込み時点でMNP予約番号の有効期限の残りが10日必要です。
もし3月中に申し込みするなら誰かの紹介キャンペーンURLのリンクから申し込みします。
これで紹介キャンペーンは適用になります。（届いてから申し込みまで1日で出来るのが理想です）
申し込みにあたってクレジットカードが必要ですがmineoは契約時のルールでMNP元契約者（auの契約者）とmineo申し込み時の契約者と支払いクレジットカード名義人が同一である必要があります。
（後で支払いのクレジットカードを同じにする事は可能です。）
申し込みしたら受付完了メールがきてあとはsim到着を待つ感じです。今だと最低でも10日以上はかかるようです。
sim到着後にmineoのマイページからMNP切り替えを実施します。この時点でmineo利用開始、au解約になります。
もしsim到着が遅れても、また諸事情でMNP切り替えできなくてもMNP予約番号の有効期限前日に自動的に切り替えされます。
流れはこんな感じです。