親がMNPでmineo契約するときの手順

お考えの手順だと、mineoへのMNP契約が含まれていません。Y!モバイルで発行されたMNP予約番号でmineoに回線契約を申し込む必要があります。
mineoの端末キャンペーンは終わってしまったので、iPhoneは普通にAppleストアでSIMfree版を買っておけばいいです。

mineoにMNPで新規契約をすると、MNP予約番号の有効期限(発行から15日間)が切れる1日前に強制開通されてしまいますので、GWの4日間より前に共通開通されないように、Y!モバイルでMNP予約番号とmineo申込みをする必要があります。

あと、名義の問題はmineoはお母様の名義で本人確認書類とクレジットカードで申し込んで、開通後に支払いだけRinrin1204さんのカードに変更するのが現実的です。
Y!モバイルで先にRinrin1204さんの名義に変更する方法もりますが、その場合はお二人でY!モバイルショップに行く必要があり、mineoの申し込みもWebでは間に合わないのでmineoショップで行うことになります。

mineo申込みの際には多分お持ちのエントリーコードと、紹介制度を活用してください。