楽天モバイルからmineoへ変更

mineoシングルタイプから楽天モバイルの電話番号を引き継いで、mineoデュアルタイプにされるのが一番スムーズです。今mineoシングルタイプでお持ちのパケットやコインなどもそのまま引き継げるし、mineoのアドレスも変わりません。
ただし、mineoでタイプ変更手続きが受け付けられると、mineoデュアルタイプのSIMが届いて回線切替をするまではmineoでの通信ができなくなることと、紹介制度は使えないことをご理解ください。

5/31までにマイ割で申し込みをすると回線切替をした月の翌月(回線切替が1日なら当月)から3ヶ月間1,188円の割引があります。
楽天モバイルのMNP予約番号取得方法やマイ割での申し込みについては、他の方から回答があったとおりです。楽天モバイルは、mineoの回線切替で自動的に解約になりますので、解約手続きは不要です。

mineoマイページからのコース変更は上の画像左の赤丸のところから進めます。途中、画像右の箇所では、「他社でご利用中の電話番号を引き継ぐ」を選んでください。この後で、MNP予約番号の入力があります。

今月末のMNP(回線切替)を目標とするなら、そろそろMNP予約番号を取得しても良いと思います。MNP予約番号の有効期限は15日で、自分で回線切替をしない場合、有効期限の1日前に強制回線切替(mineo側で回線切替)されます。
例えば、明日15日にMNP予約番号を取得してからmineoに申し込むと、28日に強制回線切替になります。6月1日の強制回線切替を狙うなら、15日にMNP予約番号を取得してください。