他社乗り換え方法

①、マイネオの契約を解約して、他社で新規契約、電話番号取得が最適でしょうか。

現在お使いのシングルタイプが、データ通信だけであればその方法で良いと思います
仰っているシングルタイプと言うのが、nanoSIMカードの事で電話もお使いであるので有れば、MNP(携帯電話ポータビリティー・)で移動も出来ます

②、今までのデータはアイクラウドにバックアップしておけば新規のiPhoneに移すことができますでしょうか。

iCloudにバックアップしておけば、新iPhone端末へデータ復元出来ます　　　下記Appleサポートで確認して下さい
https://support.apple.com/ja-jp/HT201269

③、どういうタイミングで切り替えればよいのか

iPhone 6 の最新のiOSへソフトウェア・アップデートを行いiCloudへバックアップして置く

新iPhone端末が届いてから、⑴iPhoneの初期設定をする
https://support.apple.com/ja-jp/HT202033
⑵iPhoneの初期設定と同時にデータ復元をする
上記サイト内、「５情報とデータを復元または転送する」で「iCloudバックアップから復元」を選択
⑶電話開通手続きは、今度使われる会社の手続き案内を参照
⑷APNプロファイルの設定も、今度使われる会社の手続き案内を参照して下さい

あとは、アップそれぞれの個別の設定とかファミリー共有・スクリーンタイム設定など必要な作業を行う