他社乗り換え方法

①、マイネオの契約を解約して、他社で新規契約、電話番号取得が最適でしょうか。

現在お使いのシングルタイプが、データ通信だけであればその方法で良いと思います
仰っているシングルタイプと言うのが、nanoSIMカードの事で電話もお使いであるので有れば、MNP(携帯電話ポータビリティー・)で移動も出来ます

②、今までのデータはアイクラウドにバックアップしておけば新規のiPhoneに移すことができますでしょうか。

iCloudにバックアップしておけば、新iPhone端末へデータ復元出来ます　　　下記Appleサポートで確認して下さい
https://support.apple.com/ja-jp/HT201269

③、どういうタイミングで切り替えればよいのか

iPhone 6 の最新のiOSへソフトウェア・アップデートを行いiCloudへバックアップして置く

新iPhone端末が届いてから、⑴iPhoneの初期設定をする
https://support.apple.com/ja-jp/HT202033
⑵iPhoneの初期設定と同時にデータ復元をする
上記サイト内、「５情報とデータを復元または転送する」で「iCloudバックアップから復元」を選択
⑶電話開通手続きは、今度使われる会社の手続き案内を参照
⑷APNプロファイルの設定も、今度使われる会社の手続き案内を参照して下さい

あとは、アップそれぞれの個別の設定とかファミリー共有・スクリーンタイム設定など必要な作業を行う

今の端末の正確な機種名と、今の契約プランを教えて下さい。

こんにちは。書き込みありがとうございます。
現在はiPhone６使用、シングルタイプ６GBで契約しています。

>>この場合はマイネオの契約を解約して、他社で新規契約、電話番号取得が最適でしょうか。

シングルプラン＝データだけ（SMSつき or SMS無しは問わない）でしたら、その認識で大丈夫です。

>>今までのデータはアイクラウドにバックアップしておけば新規のiPhoneに移すことができますでしょうか。

仰る通りです。合わせて、こちらも確認しておきましょう。
◆🔰スマートフォン/タブレットのデータ移行🔰　まとめてみたよ☆♪◆
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/82008
※＜１＞を参照しましょう。

>>どういうタイミングで切り替えればよいのかも教えていただけると助かります。

考え方はいろいろあります。
mineoの回線が１つでも残る場合は、mineoに残る回線に、息子様ご利用の回線からパケットギフトでパケットを移動しておきます（王国コインはおみくじでパケットに「変換」）。mineoの回線が残らない場合は、この限りではありません。
そして、mineoは解約時の月額は日割り請求（月額まるっと...に変わる可能性もありますが）なので、月初の1日に解約でしょうか。
あとは、新規契約先の事業者に伺ってください。

参考になれば幸いです♪

データ移行については回答#3のリンク先、wzjmさんのまとめてくれてるサイトがとても分かりやすいので参照させてもらうのが良いと思います。

＞どういうタイミングで切り替えればよいのかも教えていただけると助かります。

これについて「自分なら」という感じですが、先に他社で新規契約して開通、その後データ移行、これが確認できた後にmineo解約が良いと思います。
万一、データ移行や開通が上手くいかないときでも、mineo回線が残ってると保険になるので。

Appleでiphone購入
　↓
他社契約
　↓
他社回線開通
　↓
iphone6から新iphoneにデータ移行
　↓
mineo回線でコイン等の残サービスがあれば使い切る
　↓
mineo回線から残パケットをギフトで移行
（他のmineo回線がある場合）
　↓
mineo回線解約

ざっくり書くと、こんな感じですかね。
難点は、mineo回線の維持費が日数分かかる事と、iphone6の下取りサービスを利用できない事です。

ご参考になれば。

皆さま、いろいろアドバイスありがとうございました。
こちらでお聞きするには図々しい内容でありましたが助かりました。