お得な回線追加方法について（親をマイネオ派に^ ^）

親御さんのau回線がご本人のもので、 yuwayuwaさんがデュアル契約であるとして…

MNPされるなら出入りとも名義が一致する必要がありますので、親御さんのeoIDを新規取得して契約されるのが手続きもスムーズで良いと思います。
ご本人名義のクレジットカードは必要です。

契約の際はyuwayuwaさんからの紹介という形で契約すれば特典が双方に付与されますのでお得ですね。
https://mineo.jp/ambassadors/syokai/

yuwayuwaさんが1年以上mineo回線を契約であれば「長期利用特典ファン∞とく」で事務手数料が無料になるエントリーコードが付与されていると思いますので、親御さんの契約時に使えます。
https://mineo.jp/sph/fantoku/

契約後は家族割引の申し込みもお忘れなく。
https://mineo.jp/sph/discount/

まず基本は、今のau回線の名義と同じ名義での新規契約です。多分親名義でしょうから、ぐ〜たんさんが書かれている通り、親名義がいいでしょうね。
この場合yuwayuwa さんからの紹介の形が取れますから、ギフトが、紹介側と被紹介側どちらとも家族内で受け取れるのでお得になります。

端末はau iPhone7でしょうか？
MNP手続きを開始する前に、端末のSIMロック解除手続きだけは行ってください。
端末自体の操作はあとからで構いません。

契約事務手数料を無料化するためにエントリーコードを入手してください。
yuwayuwa さんがmineo契約して一年以上経過していれば付与されていますし、なければネット販売などで入手するのが安くていいです。
1円などの格安のものは、紹介コード利用を強要されるので避けてください。

mineoでの契約をａプランとするか、他のプランとするかは、検討の余地がありますが、今auをご利用中とのことなので、素直にaプランVoLTEで契約されると良いと思います。
他のプランより少し安いです。