これからマイネオ加入を検討します

>>調べてみたら、機種代金を支払ったあと、ずっと3120円のキャリアなら、乗り換え必要ないのかしら。

おそらく、これはauスマートバリューが効いていると思います。
お連れ様が「かけ放題」かつ電話をかける頻度が多いようでしたら、auに留まる選択肢もアリです。
ただし、auで機種変更をすると、端末は48回割賦が基本になるうえ、フラットプランやNetflixプランといった定量ギガ数のプランにさせられる可能性もあります。
...ですので、3,120円/月でau契約を維持していきたい場合は、例えばau版P20 lite（HWV32）の中古を購入して、そこにau純正SIM［au Nano IC Card 04 (VoLTE) 、Android端末に挿れるSIM］を挿れて使うのがいいかもしれません。

そこまで通話はしていない場合は、アメショ猫様と同じmineo_Aプランでmineoを契約するといいでしょう。
この場合、お連れ様の、auの契約名義がアメショ猫様ならば、同じeoIDで、追加契約で可能です。ただし、紹介キャンペーンを使いたい場合は、ご自身以外の周りの方でmineoをお使いの方から紹介用URLを頂く必要があります（最悪、マイネ王ユーザーで紹介用URLを掲載してはる方のマイページへ行ってこっそり踏めばよいです）。お連れ様名義ならば、アメショ猫様の紹介用URLを使えばOKです。
さらに、ムック本を購入したうえで、そのエントリーパッケージを使えばもっとおトクに契約できます♪

以上です。ご参考くださいませ。