iphoneからの乗り換え＋今の使ってるiphoneを親に譲る場合

まずお母さまのauでMNP予約番号を取得します。ネットからでも実店舗でも可能です。
https://www.au.com/support/service/mobile/procedure/contract/cancel/cancellation/procedure-mnp/

ツルさんの次の機種を調達しなければいけません。これが少しややこしく、今使っているのはnanoSIMというものです。テザリングできるのはdプランで契約か、aプランならVoLTESIMに変更する必要があります。iPhoneのSIMフリー機ならどちらでも構いません。今のaプランに特に不満がなければそのままaプランのVoLTESIMで。
ちょっと繋がり悪いからdプランを試してみたいのであれば変更で（ただし今より良くなる保証はありません）マイページからなさってください。

次の機種が調達して新しいSIMカードも届いたのなら、iPhone6のバックアップを取ってそれを新しいiPhoneに以降です。PCのiTunesで取るのが確実ですが、今はクイックスタートというのもあるので、それでもかなりの部分で新しいiPhoneに移行できます。

新しいiPhoneへの移行が済めばそのまま初期化です。

最後にお母様のmineoの回線申込みをします。これはツルさんの申込みと変わりません。もしツルさんがmineoと契約して13ヶ月を経過しているようであれば、マイページにエントリーコードが届いているはずなので、それを使えば無料です。そうでなければAmazonでエントリーコードをお買い求めください。今は355円みたいですね。http://urx.blue/NcAZ
aプランnanoSIMでオーダーなさってください。

SIMカードが届けばそれをさしてプロファイルをインストールすれば完了ですね。このへんはツルさんがなさったのと同じなので詳しい説明は必要ないと思います。あとはおすすめアプリを入れて使い方を教えてあげるという流れでしょうか。
AndroidからiPhoneはそんなに戸惑うことはないと思いますが。

お母様のSIM発注とご自分の新しいiPhoneのセットアップは並行して行えば日数は短縮できますが、一つ一つ手順を踏んだほうが間違いが少ないと思います。

また今お母様が使われているアプリがiPhoneでも使えるのかは一応確認しておいたほうがいいと思います。