このメールは本当でしょうか?

メールに添付ファイルも無く、「こちらからログインして…」のような別サイトに誘導する文面が無いので、フィッシングメールではありませんね。「送信制限」は「一定時間内で送信できるメールの数を制限する」という意味だと思いますよ。だから、1つ2つのメールは送信できたのだと思います。

BM320Iさんがおっしゃるように、スマホ、PCともウイルスチェックをした方が良さそうです。一時的に使うだけなら、無料のAVGあたりで十分です。
https://www.avg.com/ja-jp/free-antivirus-download