見覚えのない通話代１０万を請求されました

永瀬嘉亮さん、こんにちは。
このたびは、大変な目に遭われましたね。
マイネ王にも、過去に同様のケースが投稿されていますし、ネット上にも似たようなケースが報告されているようです。
原因については、誤発信がされたことと相手側の動物病院の電話が（休業日であったため）留守電なのかfax（カタカナでは投稿できない）なのかわかりませんがなんらかの理由で切断されなかったことではないかと思われますが、通話状態が本当に継続されていたのであれば、それは不幸な偶然ということになるかと思います。
かつて、ある学校でプール納めの清掃をして、そのときに水道を出しっぱなしにしてしまい、翌夏まで気づかず、結果数百万の請求をされていたというニュースを見たような記憶がありますが、それと類似のケースではないでしょうか。
mineoの請求は、10日前後に連絡が来ますが、それからもう半月以上もたっているので、もはや打つ手はなかなか思いつきませんが、どうしても支払いたくないということであれば、まずはカード会社に相談・交渉するしかないでしょう。
前にもどこかの質問で書きましたが、一旦支払ってしまえばそれで取引（契約）は成立してしまい、取り戻すことは不可能になります。
なお、銀行口座の残高を不足にするという方法は最悪手です。それは負債の相手がmineoからカード会社に移るということにすぎず、敵を増やすとともに、より強い（専門的な）敵を相手にすることになるからです（ブラックリストに載るということに留まらず、どっちにしろ払わざるをえなくなる）。
いずれにせよ、カード会社がmineoに支払ってしまっていたら、もう手遅れということになります。
こういうケースで取りっぱぐれることがないよう、mvnoの多くはカード決済にしているのかもしれません。