壊れたスマホからのライン引き継ぎ

LINEのトーク履歴を引き継ぐには、個別のトークを開いた上で
トーク設定からトーク履歴のバックアップを選択し、すべてバックアップでzipファイルを作成する必要があります。

その上で、保存されたZIPファイルを新しい端末のLINEが参照するフォルダに移動した上で
新しい端末でアカウントを引き継ぎ、トーク画面を開いて
トーク設定からトーク履歴のインポートをすれば引き継ぎができます。
トーク履歴のバックアップを行っていない場合、設定項目にインポートの選択肢が表示されません。

バックアップファイルの作成先は、SDカードだったり、本体だっったりします。
ご自身の端末で確認してください。
なおこのバックアップ作成は事前に引き継ぎ元の端末で行う必要があるので
元の端末が修理不能な現状では、復旧は絶望的です。

添付はトーク設定の画面です。
ここからトーク履歴の引き継ぎが行えます。

また、アカウントの引き継ぎをした後でも
元の端末でネットワークに接続した状態でLINEを開かなければ、トーク履歴は削除されませんのでバックアップは可能です。
機内モードかつWi-Fiにも接続していなければ大丈夫です

アカウントの引き継ぎに関しては前の方が答えているようなので
トークは諦めて救えるデータ、アカウントを救出するのが良いのではないでしょうか。