SMSアプリでメッセージを送ることができません。

設定の仕方には二通りあって、機種によってメニュー表示が少し違っていたりするんですが、
パターン１　標準または既定またはデフォルトのSMSアプリとして「メッセージ」アプリを選択
メニューの例
設定→アプリと通知→詳細設定→標準のアプリ→SMSアプリ→「メッセージ」
設定→アプリと通知→既定のアプリ→メッセージアプリ→「メッセージ」
設定→アプリと通知→デフォルトアプリ→SMSアプリ→「メッセージ」

パターン２　アプリと通知で「メッセージ」アプリを選んでから標準または既定またはデフォルトとして設定する
メニューの例
設定→アプリと通知→アプリ情報→「メッセージ」→標準で開く
設定→アプリと通知→アプリ情報→「メッセージ」→既定で開く
設定→アプリと通知→アプリ情報→「メッセージ」→デフォルトで開く

上記のような感じで設定することができます。
　

設定→アプリ→メッセージアプリ
と進むと、
「デフォルトに設定する」にチェックする項目は出てきませんか？

Zenfoneはだいぶ前に手放してしまって、かすかな記憶だけで答えているので、見当違いでしたらすみません。他の方の回答もお待ちください。

ZS570KLを使っています。

Androidのバージョンが違うので、合致するかわかりませんが、左上→右上→左下→右下、と遷移すればOKです。