ネットフリックス

こんにちは♪
このお尋ねには以下のふたつの要素が含まれています。
（１）mineoでchromecastは使うにはどうすればよいですか？
（２）chromecastでNetflixを視聴するのはどうすればよいすか？

chromecastは手放してしまいましたので、（１）しかお応えできません。
（１）mineoのSIMをさしている端末でテザリングを使えるようにして、chromecastからテザリングをトライしてみてください。
ネットワーク品質の確認シーケンスがあった気がするのですが、mineoネットワークではこのシーケンスを通過できないかもしれません。

※品質のよくない802.11gネットワークで使用可とならず、無線アクセスポイントをテレビの裏まで引き回した記憶がございます。
どうぞよろしくお願いいたします。

質問者さんは、Wimaxのルータを親機として使用していたものと想定して回答させて頂きます

ChromeCastとmineo端末のみではChromeCast自体が使用出来ません
Wi-fiの親機が無いためです

なので、
①mineoのSIMが利用可能なWi-fiルータを用意する
または
②今使用されている端末をテザリングして親機として使用して、Netflixアプリをインストールした端末(Wi-fiにさえ繋がればいいのでSIM無しでOK)を用意する
③ChromeCastを諦めて単体で利用可能な物(fire tv stickやPS3/4など)でテザリングして使う

の3択になるかと思われます

前提が違っていれば申し訳ありません

ChromeCastで動画サービスを見るには、インターネット接続環境のあるWi-Fi（スマホなどのテザリング含む）接続が前提です。

http://mobilelaby.com/blog-entry-how-to-setup-chromecast.html

WiMAXを使わず、ChromeCastを利用するには、mineo契約のモバイルルータでインターネット接続させるか、mineo契約のスマホのテザリングでChromeCastと接続させるか…の方法になるのではないでしょうか？

スマホで動画サービスを視聴できる状態から、ChromeCastにミラーリングでTVに表示させる方法を取るにしても、テザリングを利用してスマホとChromeCastがWi-Fi接続されている必要があるので、どちらも効率的ではないと思います。

動画を視聴されるなら、通信制限のかからないプランのWiMAXを固定回線のように利用されるのがストレス無く楽しめると思いますよ。