家以外でメールが繋がりません。

mineo simの契約をして、simカードが入っているなら、

au契約時にパケット消費をしないため
・データ送受信をしない設定にしていた
mineoに変更した時にmineoの通信をするための
・APNの設定が正しくされていない

のどちらかと思われます。

・データ送受信をしない設定になってる場合
　設定
　　＞Xperia接続設定
　　　　その他の設定
　　　　　＞モバイルネットワーク
　　　　　　＞モバイルデータ通信
ここのチェックボックスをチェックする
※以上、Xperiaですが機種が違うので若干階層や表現が異なるかもしれません

・APNの設定が正しくされていない場合
　　mineo契約時の設定マニュアルどおりに設定してみてください。

これで解消されないでしょうか？