荒ぶるGmail

同期に失敗してエンドレスな感じでしょうか？
ググると、gmailで似たトラブルの口コミありますね。
（対処までは至らずな感じ）

もし他に対処のしようが無ければ、下記ご検討ください。

Gmailの経験はありませんが
iCloud(AppleID)の同期でエンドレスの通信の経験があります。
アップルのサポートもサジ投げました(^^
その時は結局AppleIDを捨てて新しく取得しました。

今回の場合もアカウントに依存していれば
Googleアカウントを変えることが許容できれば、それが早いと思います。
メールについては、転送やエイリアスを活用して対応するか
いっそ捨てるか・・・(^^