エイリアスの使えるプッシュ対応メールアプリ

現在キャリアメール代わりにiCludメールを使っています。
プッシュ受信可能なことと、エイリアスのメール作成と送信にも対応していることからK-9mailを使っていますが、２つ質問があります。

１．K-9mailのアカウント設定から「メール受信」→「プッシュ接続の拡張設定」→「IMAP IDLE（プッシュ）接続のリフレッシュ」とありますが、ここの時間設定とタイムリーに受信されることとは関係ないと思っていいのでしょうか？

最初はデフォルトのまま24分毎だったのですが、60分毎に変えて2ヶ月ぐらい使ってみても相手がメールを送ってくるとタイムリーに受信できているので、接続のリフレッシュの時間間隔とタイムリー受信は関係していないのでは？と思ったのです。
プッシュ通知が有効にさえなっていれば他の設定にかかわらずタイムリーに受信されると思っていいのでしょうか？

２．K-9mailの他に、プッシュ受信可能でiCloudのエイリアスのメール作成と送信が可能なアプリがあったら教えていただけませんか？