メールの通知音について

CosmoSiaと言うメールアプリは設定も簡単で、トラブルが少なく使いやすいのでお勧めです。
もちろんPush通知に対応しています。

mineoメールにはCosmoSiaが最適！(Android限定)
https://king.mineo.jp/my/eddy/reports/25277

Gmailの設定を開いてメールをアカウントをクリック、さらに受信トレイの通知をクリック、ラベル通知のチェックボックスにチェックを入れる。これで鳴るか試して下さい。

メールアカウントが２つあれば各メールアカウント毎に設定をして下さい。

Gmailアプリだと、即時に知ることはできないと思います。
プッシュ通知に対応しているアプリに変更するのが良いかと思います。
こちらなどが参考になると思います。
https://king.mineo.jp/question-answer/アプリ／WEBサービス メールアプリ/8709

設定→アプリ→Gmail→通知→アプリ内の通知設定→各アカウントをタップ→通知を管理する→通知を表示でサイレントになっていませんか？　サウンドをタップしてみて様子見たらどうでしょうか？

mineoメールで音を出す方法、出来ました。Gメールアプリではmineoメールの音は出ないようですね。

Gメールの代わりにメール（CS)と言うアプリをGoogle Playからダウンロードしてこれにmineoメールを設定。
次にメッセージ通知proというアプリを同じくGoogle Playからダウンロード
通知設定と省電力設定を設定。

設定済みアプリ一覧の＋をクリックして通知対象のアプリからメールCSを選択。

基本設定から通知音を設定。

これでmineoメールを受信したときに音が鳴ります。

お試し下さい。

設定をいくら見直してもGmailの通知が鳴らない（受信と、画面上での通知表示は正常）

ネットに解決に関する情報が全く無いのですが、Gmailアプリのバグではないか（OSのバージョンアップについていけていない等）と思っています。

自分の場合、鳴るときと鳴らないときがあります。
初期化・再インストール後最初から鳴らなかったり
最初は鳴っていても次第に鳴らなくなったり。

次第に鳴らなくなったあと、通知音を再設定（同じ音源だけど）するとまた鳴り始めることもあります。

アカウントごとに通知音を分けて区別していると鳴らなくなります。
デフォルトから通知音を変更しなかったり
すべてのアカウントで同じ通知音にそろえておくと
正常に鳴り続けているように思います
途中でまた、試しに変えてみるかーと変更してしまい
また鳴らなくなります

再設定（リセット）してあげたりアカウントすべての通知音を揃えると鳴り始めるので、新着メールを通知する際に、複数アカウントを設定しているなどにより同時に複数の処理をすることになり、バグって音が出なくなっているのではないか？　とも思いますが、よくわかりません。
同じ症状の経験者は多くなく、そんなに大きな問題になっていないので、このバグが出る確率も低いものと考えられ、発症する特殊な条件があるのかもしれません。

補助作としては
・他のメールアプリも設定してGmailと同時に受信し、通知音を鳴らして、Gmailで読み書きする
・MacroDroid等の自動化アプリで、新着通知を鳴らす
などが挙げられますが、Gmailと同様の通知設定ができない（重要なメールだけ鳴らすなどができない）ため、Gmailよりもたくさん通知が鳴って鬱陶しいです。

メーカーにも問い合わせましたが、「初期化してみてくれ」などの通り一遍な対応のあと、解決しませんでしたので、端末メーカーサイドではなく、Android（OS)・アプリに問題ありかなーと思います。
解決が早いといいなと思っています。