POPメールをアカウント設定したのですが

>>23 さよぴさん
簡単にお返事しますね。
iPhone標準メールでは、メールボックス編集で、自分で作成したフォルダは黒文字で、これは削除できます。また、iPhone上で同じ名前でまたフォルダを作ることも可能です(中身は空)。
アプリが作ったフォルダはグレー文字で削除できません。また、POPでは、受信・送信済み・ゴミ箱しかありませんし、自分でフォルダは作れません。このメールアプリの仕様です。
iPhone /iPadでPOPを扱うなら、別のメールアプリを使ってください。標準アプリは自動振り分けもできないようなのでお勧めできません。

IMAPはサーバにフォルダを作りますので、どの端末から見ても同じです。なので、上に書いた方法で削除すると、他の端末でも無くなります。POPは端末内にフォルダを作りますので、端末ごとに状態が変わります。

i-nextのメールは、他のアドレスに転送して受信した方がスッキリすると思いますよ。モバイルから送信することができないという欠点はありますが。