メールが表示されなくなる

htcの端末そのものを所有しておりませんので、コメントする立場にはないですが。
「メールアプリを使って」とありますが、どのようなアプリでせうか？
htcの端末にプリインされている、標準メールでせうか？
それとも、GooglePlay からDownloadされたメールアプリでせうか？
具体的なアプリ名を記載されれば、実際に利用されているメンバーさん
からコメントあるように思います。

メールアプリの設定を見てください。

HTCのプリインストールアプリの場合、[設定ー同期、送受信ー予定の同期]で「Smart sync 」が設定されている可能性があります。
その場合は、5分ごと等に設定すると改善されると思われます。

以下、サポートセンターのgoogle訳。

スマート・シンクは、Mailアプリが非アクティブであるほど同期時間を自動的に延長し ます。新しい電子メールメッセージを頻繁に確認する必要がない場合は、電子メールアカウントを Smart Syncに設定します。 スマートシンクはバッテリーの消費を節約します。
到着時に電子メールメッセージを受信する場合は、電子メールアカウントの同期、送信および受信の設定で別の ピーク時間同期および オフピーク同期スケジュールを選択し ます。

以上。