プレイストアからアプリがダウロードができません

手元の端末だと、結構古い Android だと Play ストアからのインストールに反応するのが早い感じですが、新しいバージョンになるとインストールをタップしてもダウンロードにすぐに行かない（なんかやってるみたいで高頻度で暫く待たされる）という事は多い気がします。

暫くほっとくといつの間にかダウンロードされている事もあります。

使う時だけ起動する端末があるのですが（多くて１日１回起動、２～３日で１回、１週間以上つかってないとか）、サポートライブラリのダウンロードが毎回行われているみたいで、それが終わらないとアプリのインストール・更新が動作しない感じがします。

端末を再起動して３～５分ぐらい待つ

アプリのインストールをしてみる

あとは１０分ぐらいほったらかし

の様な事をやってみてダウンロードされているかを見てみてはいかがでしょうか？
まぁ、急いでやってもダウンロードされたためしがないので、待つしかない感じなのですが…。