送られてくるメールが10分間隔で来る

使っているメールソフトの問題です。
受信間隔をもっと詰めてあげれば良いと思います。

どこのメールでメーラーなんでしょうか？

mineoメールだと仮定して話します
メーラーによってリアルタイム受信は対応していないものもおもいます。
Swingmailはリアルタイム受信に対応しておりますので、ご利用のメーラーにその機能がない場合利用を検討してみてください
https://king.mineo.jp/magazines/special/447

お使いの機種が　M03で　プリインの　NX!メールのようでしたら
設定されている各アカウントの設定で「プッシュ受信」を一先ずonに
されてみてはいかがですか！
わたしは、NX!メールは利用していませんが、細君のM03 はNX!メール
使っていて、そのように設定しています。
リアルかどうかわかりませんが、相互にメールでの送受信はできているように
思います。

mineoメールだと、プッシュに対応してないので、フェッチの間隔が短く設定できるメーラーを使うのが良いと思います。

しまっこ様おすすめのswingmailは下記URL
https://play.google.com/store/apps/details?id=co.swingmail
からダウンロードできます。

私はZS570KLではK-9 Mailを使っていますが、少し敷居が高いので、myMailをおすすめいたします。こちらも、メールを受信したらすぐに反映されます（これを「プッシュ通知」といいます）。
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.my.mail

皆さんありがとうございます。
いろいろ検討してみます。

着信確認間隔を短くするほどに電池消費量が増えますのでお気をつけください。