Gmailにした場合

Gmailは使えますよ。mineoメール(@mineo.jp)が使えなくなります。

gmailはgmailをやめない限り入会する前でも退会した後でもずっと使えます。

mineoの連絡メールアドレスも、マイネ王のログインメールアドレスも、＠mineo.jpのアドレスである必要はありません。
むしろ、mineoアドレスはPCメール扱いですし、mineoをやめたらmineoアドレスはなくなるので、gmailなら他社へ移ってもgoogleアカウントを削除しない限りずっと使えるので、gmailしか使わなくていいのではないかと思います。
私もmineoメールアドレスはmineoからの連絡メールを受信する為だけにメールソフトに設定しているだけで、使っていません。

皆さまありがとうございます。解決できました。