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私もSHL22ですが、PCメールは最初から使用していません。（AUのとき設定して動作確認だけしました）
はじめにK-9メールを入れました。（ネットの評判が良かったので）
K-9は、確かに削除したメールを再度受信することがありました。削除済みフォルダにあるメールも再度受信されることがありました。（同期を1時間ごとにしていたからかも）
設定内容をあまり検証しないで、Cメールも利用できるのでCosmoSiaに変えました。
こちらのアプリでは、今のところメールを再度受信したことはありません。プッシュ受信にも対応していますので必要なときだけ設定を変えています。
残念ながらフォルダの自動振り分けには対応していません。
振り分けは、手動で行うことになります。
mineoさんがWebメール対応して頂ければできるかも（笑）