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削除したメールがまた送られてきたり、ゴミ箱のメールが復活するように見えるのは、IMAP4だからです。
IMAP4は、メールサーバー側で管理されています。
以前使用していたK-9メールでは、サーバー同期時間やメール削除時にサーバーも削除するかどうかの設定がありまた。
今はどなたかが書かれていた、CosmoSiaを使っています。
こちらは、サーバー側も直ちに削除するようです。SMSも出来ます。
IMAP4のため、メールソフトを入替えても次の25件を取得でメールの移行が出来ます。
メールソフトを入替えても、メールの移行は出来るので、他の人が書かれているアプリなどを試してみるのが良いと思います。