機種変更時、電話帳データ移行の方法

mineoでんわアプリ自体は連絡先データを持っていません。
基本的には標準電話アプリが使われているはずです。
この連絡先データをmineoでんわアプリが参照しています。

ですから、標準電話アプリの連絡先を移行すればよいです。
Googleアカウントに連携されているなら、同じアカウントでログインするだけで自動的にコピーされてきます。
そうでないなら端末間でのコピーが必要になりますが、この際すべての連絡先をGoogleアカウントに連携させるようにしておくのが良いと思います。

端末によって手順が異なるかもしれないので、ここから先はうまく説明できません。

標準の電話アプリの連絡先を立ち上げてみて、メニューから操作できませんか？