Eメールを送りたい

単に問い合わせの返答を待つだけなら、どんなアドレスでもドンキで対応できると思います
ドンキが何か宛先ドメインを制限しているのなら話は別です
ドメインを制限しているのなら問い合せ窓口に対応ドメインが書いてあると思います

もしかして会員登録をしようとしてその確認メールを待っているならキャリアメールと呼ばれる一部のドメインしか対応していない可能性はあります

電話で問い合せてみてはいかがでしょうか?