2台のiPhoneで、アプリの音が鳴る設定

着信音、通知音を全て消すなら消音ボタンですが、アプリの通知音のみなら以下の設定を試してみてください。

設定→サウンドと触覚 を表示
ページ半ばにある以下の項目をそれぞれタップして『なし』を選択してください。

メッセージ
新着留守番電話
新着メール
メール送信
カレンダーの通知音
リマインダーの通知音
デフォルトの通知音
※着信音については『なし』はありません。

余談）LINEのみならLINEで設定できます。
LINEアプリの「ホーム」>「設定（歯車）」>「通知」から「アプリ内サウンド」や「通知」のチェックを外します。全ての着信を無効にするには、[設定] > [通話] > 「通話の着信許可」をオフにします。