モバイルバッテリーから充電するのに一手間かかる

>>3
https://www.ankerjapan.com/blogs/magazine/how-to-use-battery
》通常は、モバイルバッテリーとモバイル機器が繋がると自動的に充電が始まりますが、始まらない場合にはモバイルバッテリーの電源ボタンを押してみてください。

この操作自体は問題ないらしいです。
他のコメントにある通り、iPhoneのバッテリーの電圧が低下しているのが原因かもしれませんね。