ストレージ容量

iCloudは使ってますか？
5GBまで無料で使えます。
iPhoneのバックアップは、PCのiTunesかiCloudで行います。
iCloudならネットワークさえあれば利用可能です。
iCloudでバックアップを取ってiPhone上のバックアップを削除してください。

というかiPhone上にバックアップをとるはずも無いので
少々、混乱して来ました。

おそらくiCloudにバックアップを取っていて
５GBでは足りなくなっているのだと思います。
写真とか動画も同期しているでしょうから。

PCはお持ちでないでしょうから
一時的にiCloudを増設しアップデートしてから解約すれば良いと思います。月130円で５０GBまで利用できます。