スマホ単体でのMicroSDコピー。USB？専用ツール？その他の手段？

Wi-Fi Directでも厳しい気がしますがクラウドは時間がかかりすぎるので問題外でしょう。
SH-01Jがあるということなので、ドコモショップに行ってDOCOPY（ドコピー）でコピーするのはいかがでしょう。
https://www.docomo.ne.jp/support/docopy/
とは言っても、終わるのに3時間ぐらい掛かりそうですから、待っている人がいないの前提になりますが。