メール受信したら、音が鳴るように設定していますが、すぐに鳴りません。

使ってはるメールアプリは「Gmail」でしょうか？

最近は改善してきているようですが、まだ反映が遅いかもしれませんね...σ(^_^;)

Galaxyにプリインされているメールアプリが何かはわかりませんが、Galaxy使いのえでぃ様やよっちおじさん様ならばご存知かと思います。

...ですが、便利なのはやはりmyMailですね。
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.my.mail
myMailですと、GmailはもちろんYahoo!・@icloud.com・@mineo.jp・Outlookと、さらには@docomo.ne.jpも設定すれば ちゃんとプッシュ通知して即反映します。