ショートメールの送受信が上手くいかなく諦めてました

ショートメールとありますが、電話番号あてに送るSMSのことでしょうか？アプリはメッセージを使うものですか？
SMSであれば、mineoだから送れないということはないはずなのですが…

それともメールアドレス宛に送る、メールのことでしょうか？
アプリはメールでしょうか？
この場合は、大手キャリのメールアドレスに送れないことがしばしば発生します。
これを改善するためには、相手の方にメール受信の設定を変更してもらう必要があります。
でも、相手から送られるメールをこちら側で受け取るのには制約はないはずです。
ご自身からご自身のメールアドレス宛にメールしてみて受信できるか確認してみてください。