iPhone6sからiPhone7への機種変更

iPhone7はau販売あるいはSIMフリーのものでしょうか？
それであればそのまま使えます。
SIMを入れて、mineoプロファイルをインストールすれば、電話もデータ通信も使えるようになります。
データを移行するためには、日頃からiCloudにバッツアップされているのであればそれが復元できますが、そうでないなら画面が映らないと厳しいでしょうね。
ダメ元でアマゾンなどで交換用液晶を購入、自分で交換するのであれば、2000円程度で修理もできますが、若干コツが必要で、とても細かいので、そのような作業に慣れていないのであれば、街中でのiPhone修理店を利用することで、1万以下くらいのところを探すことはできると思います。

mineoへの届け出は不要ですよ。どんな端末を使うかは、利用者の自由です。