マイネオアドレスの件

>夫のは、Gmailで登録したので、マイネオからのメールはGmailにきますが、私はマイネオアドレスで登録したので、マイネオアドレスに来るため、2つを見なくてはなりません。

ご主人様の端末のメールアプリにはGmailアドレス、 アメショ猫さんの端末のメールアプリにはmineoアドレスを登録されているという事でよろしいでしょうか？

>マイネオアドレスは、覚えにくいし使うことがないので、Gmailに変更しても差し支えないですよね？

まず覚えにくいとの事ですが、変更されていないのではないでしょうか？アドレスというのは基本的に@より前は変更できるものですし、実際に変更できます。
あまり使われていないのでしたら差し支えないかと思いますが、mineoアドレスはどこか適当なメールマガジン等に登録されてないという認識で良いのですよね？
登録されているのでしたら、勿論Gmailアドレスに登録し直すという作業が発生します。

後、ヨッシーセブンさんが書かれていますが、mineoアドレスにはデータ残容量が少なくなった時のお知らせ、システムメンテナンスのお知らせ等のメールが届きます。確かに受信できるようにしておくのが無難かと思います。
方法としてはメールアプリでGmailアドレスとmineoアドレスを見られるようにしておく(メールアプリに2つのアドレスを登録する)、もう1つの方法はGmailでmineoのメールを受信できるようにしておくという方法があります。
後者ですと1度設定すると、端末にはGmailアドレスをメールアプリに登録するだけでmineoアドレスに届いたメールを見られるというメリットがあります。ただ設定が面倒くさく、正直アメショ猫さんには難易度が高い気がします。

後はどの方法を取られるかでしょうか。

ちなみにですが、僕はメインアドレスとしてGmailではなくOutlookを使用していて、Outlookアドレスでmineoのメールを受信できるように設定しています。
そのOutlookアドレスを端末に設定しているので、mineoアドレスに届いたメールも見られます。