SIM入れ替え

iPhone6の場合は、SIMロック解除をする必要が無いので、au系のSIMであれば、そのまま挿すだけで使用できるようになると思います。
りえままさんはMNPではなく、新規でmineoと契約との事ですから、mineoからSIMが発行されてそれが手元にあるのであれば、そのSIMをそのまま挿すことで使えるようになるのではないでしょうか。
そして、使えるのが確認でき次第、auのほうを解約すれば、スマホが使用できなくなる状況は起きないと思います。

間違っていたらすみません。