NECホームルーターについて

価格.comの「WiMAX HOME 01 [ホワイト]」
https://bbs.kakaku.com/bbs/K0001102061/#22624791
でレビューや口コミを見ると、simフリーでソフトバンク回線simで使えたという話が出てきます。それだったら、mineoのau回線simでも使えないとおかしいことになります。

連携済みということはmineoユーザーでしょうから、実際に試してみて、結果をお知らせくだされば幸いです。

「auがSpeed Wi-Fi NEXT WX05 (NAD35)とWiMAX HOME 01 (NAS31)を3月23日に発売」
http://blogofmobile.com/article/114154
ここの記事によると、型番はNAS31のようです。
総務省技術基準適合証明で「NAS31」で検索してLTEの周波数のところを調べてみると、画像のとおりとなります。早い話が、LTEはBand1とBand18のみ対応のようです。

当然新規にAPN設定しないと使えないわけですが、そのためにはクイック設定Webにアクセスしないといけません。 WiMAX HOME 01と、ご利用の端末を無線LANで接続し、Webブラウザを起動し、アドレス入力欄に「http://192.168.179.1」と入力します。
ユーザー名「admin」とパスワードを入力して、「OK」をクリックします。パスワードは、本体底部の裏面のWeb PWの欄に記載されています。

APN設定は、「ネットワーク設定」をクリックし、「プロファイル設定」で「no setup」を選び、「選択」を押します。そして、そこでmineoのＡプランのAPNを入力し、「設定」をクリックします。

あとは、「接続設定」を選択して、プロファイル選択を表示し、先ほど設定したmineoのAPNを選択すれば大丈夫のようです。
参考
「WiMAX HOME 01 グローバルIPオプションの設定方法」
https://dream.jp/mb/wm/support/manual/mnl_home01_global.html
（mineoの場合、グローバルIPオプションとは無関係ですが、APN設定の方法に関しては説明のとおりだと思います。）