Wi-Fiを切ると動画がみれなくなります。

設定>モバイルデータ通信と進み、現在までの合計、現在までのローミング合計が表示されてる下に、各アプリでモバイルデータ通信を使用するか否かの選択ができますが、そこのスイッチがoff(白で表示)されていませんか？

その場合はタップすれば緑表示に変わり、モバイルデータ通信で利用できると思います。