lalaCall　不在着信などアイコンバッジは表示されますか？

検証してみました。

１：アプリ起動状態（アクティブ：画面を出した状態）
着信OK　アプリの画面に大きく番号が出ます。
コールは切った直後に音が消えます
不在着信：アプリに履歴残ります。バッジもOKです。
着信時：アプリの応答で通話。終了後履歴に残ります。

２：アプリ起動状態（バックグラウンド）
着信OK　画面表示はiphoneの設定に準拠
コールは切ってしばらく鳴っています。
不在着信：iphoneの通知記録あり、アプリの履歴残りません。バッジもでません。
着信時：起動をタップすると、通知記録、アプリの履歴とも残りません。

３：アプリ終了状態
２と同じ挙動

４：スリープ状態
2と同じ挙動

これらはwi-fi 4Gいずれも同じ

みなさんもこんな感じでしょうか？
まともに機能するのは１の状況のみのようです。
起動状態でも、いったんスリープに入ると履歴が残りません。
アプリの画面を出したままにするのは現実的に難しいのであきらめるしかないですね