マイネオ専用のメールは絶対設定しないといけないのですか？

普段使いする必要はありません。gmailと違って、mineoメールアドレスはmineoを解約した瞬間から使えなくなりますから。
ただ、契約内容変更やmineoからのお知らせなど、契約に関する重要な内容のメールがmineoから届くので、メールソフトに受診する設定だけはしておいた方がいいと思います。