データ通信をオンにするとつながらなくなります

Wi-Fiをオンにするとつながるのですが、Wi-Fiをオフにしてデータ通信をオンにするとネットにつながらなくなってしまい、困っています。

画面左上はHDマーク、4Gの表記、5本のアンテナ線がたっていますが、ネットにつなぐと「オフラインです」と出ます。
SIMカードの抜き差しや再起動、機内モードのオンオフをしましたが、効果なく、HDマークが消えて通話もできなくなったり、バツ印がついたりで、更に悪化してしまう状況です。
何回かつながりはしたものの、すぐにまたオフラインになってしまいました。
他に何かやれることはないでしょうか。。
SIMカードを再発行したほうが良いのでしょうか。