apn設定

使用されている機種とアプリが何なのか分かりませんが、データ通信できないのに通話ができたのは
「Wi-Fi（無線LAN）」経由だったからかもしれません。

モバイルネットの種類が4G ではなく、HDSPA？？→HSDPA（High-Speed Downlink Packet Access）すなわち「3G」です。
使用されているのが、iPhoneでしたらmineoの「プロファイル」が正しくインストールされていないのでは無いでしょうか？
iPhoneでしたら「設定」→「一般」→「プロファイル」で確認できます。