SMS通信料とは

この度はよろしくお願いします。
SMS通信料が発生したのですね。
こちらでは『正規の方法を前提として』ご回答します。Jailbreak(脱獄) や欠損などについては想定しません。

SMS通信料は、海外ローミングでない限りSMSを受信した際には発生しません。送信した場合に発生します。

お使いの端末はiPhoneでしょうか。
iPhoneでは、"iMessageによって自動的にSMSを海外へ送信する"場合があります。大手通信事業者の多くはこの分を負担しています。これは "基本的にそのアクティベーションにおける1回"で済みますが、状況によって数回に渡ることが予想されます。
それでも 1000円を超える金額は見込まれません。

それ以外に自動的にSMSを送信する機会は考えにくいです。"ご自身で送信された"のではないでしょうか。
メッセージ AppではSMS、MMS、iMessageを使用します。MMSは、メールアドレス等を使ってeメールとして利用できます。iMessageは、Apple製品で事前に設定して利用できます。
SoftbankまたはKDDIではMMSが提供されており、mineoを含むMVNOやNTTドコモではMMSが提供されていません。
つまり、『メッセージ AppでiMessageを使えない端末へメッセージを送信した』場合には、"緑色の吹き出しによるSMS"で送信されます。

"上記に該当しない"場合には恐れ入りますが、『この回答で解決しません』。"他の有識者によるご回答"が望ましいです。
お手数ですが、『iPhoneならAppleなど提供側にお問い合わせになる』ことも可能です。現状を整理して "最適な改善策"を模索することができます。
問題が解決されると幸いです。

私の投稿は、変遷する出来事のうち "記入時における一部と、私個人による私見"に過ぎません。既出の記載を省略することがあります。
最善に向けて努めますが、"その内容は保証しかねます"。免罪符のようですが、ご了承くださると助かります。
ご不明な点は、"この投稿への返信"にて希望します。
お読みいただき、ありがとうございました。