父親名義のガラホを自分のクレカ払いでMNPしたい

同居の場合はヨッシーセブンさんの回答どおりです。別居の場合は下記の回答となります。

auでの支払い口座は関係なく、あくまでもauでの名義でしかmineoにMNPできません。
「auでの名義変更はなしという前提」ならば、お父様の名義でmineoにMNPしてからmineoで名義変更するしかありませんが、このときはお父様の本人確認書類とクレジットカードが必要になります。

それよりはauで名義変更しておいた方が楽です。お父様の本人確認書類のコピーと委任状を持って、あっくんさんがauショップで手続きします。
https://www.au.com/support/faq/detail/51/a00000000051/