紹介キャンペーンで、カウントされるのは開通してからですか？

https://king.mineo.jp/staff_blogs/1731

2021年12月から変更となった紹介制度では、紹介者には月に1回線まで2GB付与されるようになりました。

この図で見ると「契約完了時」となっていますので、2GB付与された時点で「紹介済み」が確認できるかと思います。
2GB付与はmineoマイページに記載されます。

月に2回線目以降の紹介は2GB付与がありませんので「今日申し込みました」と契約者から教えてもらえれば、そこからいつ頃カウントされるか類推することはできるかと思います。通常2、3日後でしょうか？

そうでなければ日々適用待ちの数字が増えるかどうか確認するくらいしかないと思います。
紹介者にメールなどで「紹介用URLが使われました」などと通知は来ないです。