契約前に確認させてください。

>MNPをする前に元の通信会社で名義変更をしてしまったほうが良いのでしょうか?
→手間で云うと、基本的にどちらもそれ程大差無いとは思いますが、、MNP元がキャリアとかで、近くに店舗とかがあれば、店頭でサポート頂いて手続きがしやすい場合もあるかと。
MNP元に相談されるのが良いですね。