mineoに新規で申し込む一番お得で早い方法を教えてください

直接の回答ではありません。
６月からの夜間フリー適用を優先すると実店舗でないと間に合わない気がします。

６月からの夜間フリー適用にこだわる理由がなければ(７月からでも良ければ)、キャンペーンは今月いっぱいですから月末近くに申し込んで、ゆずるね。のカウントに間に合うように日程に余裕を持って開通したほうがいいのではないでしょうか？