auからマイネオに変更

まず最初にすることは、auのマイページで、端末のSIMロック解除を申し込むことです。
今なら無料でロック解除できます。

その他、auのメールアドレスで登録しているサービスを、Gmailアドレスなど今後継続して使えるアドレスに変更しましょう。

あとは、電話帳の確認です。
この点について詳しくないのですが、auアカウントに連携してしまっているものは後々消えてしまうなどのトラブルのもとになるので、AppleID、iCloudやGoogleアカウントなどにコピーしてください。

ここまでが事前準備です。

契約移行に関して、解約とありますが、MNPで番号そのまま移行するのではないのでしょうか？
MNPの場合は、解約という手続きは発生しません。

MNP番号を取得21日頃
取得後、mineo申込み、このときは、エントリーコードと紹介アンバサダーを利用するのを忘れないようにしてください。
黒ヤン さんがお持ちのはずです。
今はキャンペーン中なので、3GB以上のプランで申し込みましょう。
aプランにするのであれば、VoLTE マルチサイズSIMを必ず申し込んでください。

SIMが手元に届いたら、mineoマイページで回線切り替え手続き、SIMの差し替え、mineoプロファイルのインストールです。
プロファイルインストールは、mineoアプリをインストールしておいて、このアプリのメニューからプロファイルインストールを行う方法を私は推奨しています。