MNPのタイミング

こういった質問はほかにも多くあります。
多少調べてからの方が良いと思います。

現在auで契約のものをMNPしたいということですね。
auのプランがどのようなものかわかりませんが、通話は受け専用ということであれば、少しでも早いタイミングで移った方が安く済むでしょう。
更新月が11月とか12月とかであれば別です。
すでに10月半ばですので、早めのタイミングでMNP予約番号を取得し、mineoに申し込めば、800円x6か月割引キャンペンも適用になり、回線切り替えを今月中に行えば良いでしょう。
eoIDの連携も行えば、1GBのプレゼントに加えておみくじも引けます。

もし、更新月が11月であれば、MNP予約番号を19日以降に取得し、回線切り替えを1日にしてください。
1日ルールが適用されるかされないかはわかりませんが、うまくいって適用されれば、11月分のauの請求はありません。
もし1日ルールがなくなっていたとしても、auに支払う金額は11月2日以降に回線切り替えするのと変わりません。その場合、11月末に回線切り替えするのと比べ、mineoに支払う金額がほぼ1か月分違ってきますが、キャンペーンの適用分がありますので、結局得になります。