審査完了しました‼︎

ひとまず審査が通って良かったですね。

》2番目はひとまず私名義での新規での契約になりますが、名義変更はどのタイミングがいいでしょうか

タイミング以前に、回線譲渡（名義変更）の条件を整える必要があります。
・本人名義のクレジットカード又はそれに準ずるもの。
・回線譲渡申請時に必要な本人確認書類
　運転免許証、パスポート、マイナンバーカード
　※今後の事を考えると運転免許証がベストですが、手間/暇/金がかかります。今はマイナカードが妥当でしょう。

https://support.mineo.jp/usqa/use/account/name/40048218_8886.html
》回線の譲渡の手続き時の本人確認書類として認められているものには何がありますか？
https://support.mineo.jp/setup/guide/namechange.html
》回線譲渡の手順

あと、言わずもがなのことですが。
自分名義の「何か」を持つということは、社会に対して自分の存在を認めてもらうことです。何も持っていない現在であれば早い方がいいです。名義変更では回線自体の契約や解約は生じないのでタイミングの良し悪しはありません。